Introdução as superfícies quádricas e suas aplicações.

Superfícies Quádricas

Introdução:

A equação geral do 2º grau nas três variáveis x, y, e z:

ax² + by² + cz² + 2dxy + 2exz + 2fyz + mx + ny + pz + q = 0          (1)

onde pelo menos um dos coeficientes a, b, c, d, e ou f é diferente de zero, representa uma superfície quádratica ou simplismente uma quádrica.

         Observamos que se a supefície quádratica dada pela equação (1) for cortada pelos planos coordenados ou por planos paralelos a eles, a curva de interseção será cônica. A interseção de uma superfície com um plano é chamada traço da superfície no plano.

         Por exemplo, o traço da superfície quádratica (1) no plano

z = 0 é a cônica

ax² + by² + 2dxy + mx + ny + q = 0

contida no plano z = 0, isto é, no plano xOy.

         Por outro lado, através de mudanças de coordenadas (rotação e/ou translação), a equação (1) pode ser transformada em uma das formas:

Ax² + By² + Cz² = D        (2)

ou:

Ax² + By² + Rz = 0

Ax² + Ry + Cz² = 0

Rx + By² + Cz² = 0(3)

onde a equação (2) representa uma quádrica centrada  e as  equações (3) quádricas não centradas.                                                                                                                     Nosso objetivo é identificar e esboçar o gráfico das superfícies quádricas centradas, conhecida sua equação.

Superfícies Quádraticas Centradas

Se nenhum dos coeficientes da equação (2) for nulo, ela pode ser escrita sob uma das formas

(4)

denominadas, qualquer delas, formas canônicas ou  padrão de uma superfície quádratica centrada.

         As possíveis combinações de sinais nesta equação permite concluir a existência de apenas três tipos de superfícies, conforme seja três dois ou um número de coeficientes positivos dos termos 1º membro da equação. Se os referidos coeficientes forem todos negativos, não existe lugar geométrico.

Elipsoide

O elipsoide é a superfície representada pela equação (5) dada acima na figura 1, em que todos os coeficientes dos termos do 1º membro da equação (4) são positivos, onde a, b, e c são reais e positivos e repesentam as medidas dos semi-eixos do elipsoide (Fig. 1)

Aplicações do traço da elipse:

Uma elipse pode ser representada pelo traço no plano xOy

e uma de suas aplicações são as Leis de Kepler, onde as leis descrevem o movimento dos planetas entorno do Sol.

1ª lei de Kepler (lei das órbitas):

“As órbitas descritas pelos planetas em redor do Sol são elipses com o Sol em um dos focos”      

Se a é o semieixo maior de uma elipse e c a semidistância focal (Figura 10.13), a razão e = c/a chama-se excentricidade da elipse. Para e = 0, a elipse degenera num círculo; quanto maior for e, mais “achatada” a elipse. A tabela de Fig. 10.13 dá os valores de e para as órbitas dos planetas conhecidos na época de Kepler. Embora a de Mercúrio seja mais excêntrica, havia poucas observações de Mercúrio disponíveis, A órbita de Marte, utilizada por Kepler, era a mais excêntrica depois da de Mercúrio.   

Além de verificar que a órbita de Marte não é circular, Kepler também percebeu através de suas observações que o movimento do planeta ao longo da órbita não é uniforme: a velocidade é maior quando ele está mais próximo do Sol. Kepler procurou entender estes resultados em termos de uma ação do Sol como causa dos movimentos dos planetas. Para isso, imaginou um modelo extremamente peculiar, em que o Sol teria uma rotação em torno de seu eixo e emitiria raios, confinados somente ao plano da órbita, que atuaria lateralmente sobre o planeta, “varrendo-o” em torno da órbita. Imaginou assim uma “força” que teria todas as características erradas: confinada ao plano da órbita, tangencial à órbita em lugar de central, e supôs ainda que variasse inversamente com a distância. Partindo desse modelo inteiramente errado, Kepler fez um cálculo também errado das áreas varridas pelo raio vetor que liga cara planeta ao Sol, e acabou chegando, miraculosamente, à lei certa:

2ª lei de Kepler (lei das áreas):

“O raio vetor que liga um planeta ao Sol descreve áreas iguais em tempos iguais”

Assim, num dado intervalo de tempo t, o planeta descreve uma porção maior da órbita quando está no periélio (posição mais próxima do Sol) do que no afélio (posição mais distante do Sol; cf. Figura 10.14). Kepler acabou percebendo que tinha cometido erros que se cancelavam, e procurou explicar por que. A explicação que deu também estava errada!

Kepler pulicou as duas primeiras leis em seu livro “Astronomia Nova” (1609). Foi só muitos anos mais tarde que chegou à formulação se sua 3ª lei. Desde sua juventude, ele havia procurado correlacionar umas com as outras órbitas planetárias, por meio de algumas regularidades ligando os raios médios das órbitas, bem como seus períodos de revolução. Foi só perto do fim de sua vida, em 1618, após inúmeras tentativas infrutíferas, que ele acabou descobrindo a regularidade que buscava, na forma de sua 3ª lei:

3ª lei de Kepler (lei dos períodos):

“Os quadrados dos períodos de revolução de dois planetas quaisquer estão entre si como os cubos se suas distâncias médias ao Sol”

Assim, se T₁ e T₂ são períodos de revolução de dois planetas cujas órbitas têm raios médios R₁ e R₂ respectivamente, a 3ª lei afirma que

                                         (T₁/T₂)² = (R₁/R₂)³                                                 (10.4.1)

Kepler exultou com sua descoberta: “ A 8 de março deste ano de 1618, ... a (solução) apareceu-me na cabeça. Mas eu estava sem sorte, e quando a testei pelo cálculo rejeitei-a como falsa. Afinal, a ideia voltou-me em 15 de maio, e em novo ataque conquistou a obscuridade da minha mente; concordava tão perfeitamente com os dados obtidos em meus dezessete anos de trabalho sobre as observações de Tycho que pensei primeiro estar sonhando”

Para continuar a leitura, o texto completo está no livro Nussenzveig, Herch Moysés

Curso de física básica, 1 : Mecânica / H. Moysés Nussenzveig. – 5. Ed. – São Paulo: Blucher, 2013. Capítulo 10, páginas 240, 241, 242.  

Outra forma de observar um Elipsoide é na forma da Terra:

Newton calculou o efeito da rotação da Terra sobre sua forma: na ausência de rotação, ou seja, somente sob o efeito da gravidade, os planetas deveriam ter forma esférica; entretanto as “forças centrífugas” produzidas pela rotação levam a um achatamento nos polos e alargamento no equador, conduzindo a uma forma de esferoide oblato, como mostra a Figura 10.20 (onde o efeito foi grandemente exagerado).

        

Para continuar a leitura, o texto completo está no livro Nussenzveig, Herch Moysés

Curso de física básica, 1 : Mecânica / H. Moysés Nussenzveig. – 5. Ed. – São Paulo: Blucher, 2013. Capítulo 10, página 249.

 Outro exemplo do achatamento dos polos, agora sendo visível o seu formato.

Hiperboloide de uma Folha

Figura 2: Hiperboloide de uma Folha, equação 6.

Se na equação (4) dois dos coeficientes dos termos do 1º membro são positivos e um é negativo, a equação representa um hiperboloide de uma folha. A equação dada na (Fig. 2) é uma forma canônica da equação do hiperboloide de uma folha ao longo dos eixos dos z (Fig. 2). As outras duas formas canônicas são

                                                       

 e  

Aplicações do traço do hiperboloide de uma folha:

Uma aplicação bastante conhecida da arquitetura brasileira é a Catedral Metropolitana de Nossa Senhora Aparecida ou Catedral de Brasília projetada pelo arquitetoOscar Niemeyer, com cálculo estrutural do engenheiroJoaquim Cardoso, foi o primeiro monumento a ser criado em Brasília.

Outro exemplo são as torres de refrigeração de usinas nucleares são dispositivo de remoção de calor usado para transferir calor residual de processo para a atmosfera. As torres de resfriamento podem utilizar a evaporação da água para remover o calor de processo e resfriar o fluido de trabalho para perto da temperatura de bulbo úmido ou utilizar somente ar para resfriar o fluido de trabalho para perto da temperatura de bulbo seco.

As aplicações mais comuns incluem o resfriamento da água que circula nas refinarias de petróleo, indústrias químicas, estações de energia e refrigeração do edifício.

As torres variam em tamanho, desde pequenas unidades no topo de telhados a estruturas hiperboloides gigantescos que podem ser de até 200 metros de altura e 100 metros de diâmetro, ou também estruturas retangulares que podem medir mais de 40 metros de altura e 80 metros de comprimento.

Para a leitura completa do texto acesse: Torre de Resfriamento, https://pt.wikipedia.org/wiki/Torre_de_resfriamento

Hiperboloide de Duas Folhas

Figura 5: Hiperboloide de Duas Folhas, equação 7.
Se na equação (4) um coeficiente dos termos do 1º membro é positivo e dois são negativos, a equação (7) dada na figura 5, representa um hiperboloide de duas folhas.

A equação (7) é uma forma canônica da equação do hiperboloide de duas folhas ao longo do eixo dos z.

 

Aplicações do hiperboloide de duas folhas na configuração Cassegrain:

Cassegrain é uma configuração usada na montagem de telescópios refletores e radiotelescópios que consiste em um refletor primário parabólico e um refletor secundário hiperbólico. Nessa montagem, a radiação eletromagnética é refletida pelo espelho primário e interceptada pelo secundário antes de atingir o foco principal. Após ser refletida pelo secundário, a radiação converge para o foco localizado após o espelho primário.^[1]

É a configuração mais utilizada por telescópios profissionais. O foco pode ser ajustado de diversas maneiras dependendo do que se pretende fazer apenas modificando-se brevemente as posições dos espelhos primário e secundário.

Conforme a necessidade e praticidade, surgiram os tipos de montagens alternativas para telescópios baseadas no Cassegrain, como o design de Ritchey–Chrétien, Dall–Kirkham (popular em telescópios amadores devido a facilidade em se obter a curvatura necessária do espelho) ou o sistema Coudé.

Para a litura completa do texto acesse: https://pt.wikipedia.org/wiki/Cassegrain